Question

(本小題滿分10分)已知二次函數f (x) = x² – 16x + p + 3．
（1）若函數在區間上存在零點，求實數p的取值范圍；
（2）問是否存在常數q(q≥0)，當x∈[q，10]時，的值域為區間，且的長度為
12 – q．（注：區間[a，b](a＜b)的長度為b – a)

Answer 1

（1）–20≤p≤12；（2）存在常數q = 8或q = 9，當x∈[q，10]時，的值域為區間，且的長度為12–q．

（1）利用零點存在性定理列出關于q的不等式，然后再利用不等式知識求解即可；（2）先利用單調性求出函數的值域，再利用區間長度列出關于q的方程，求解即可。
解：（1）∵二次函數f (x)= x² – 16x + p + 3的對稱軸是，∴函數在區間上單調遞減，則函數在區間上存在零點須滿足．                                             ……………2分
即(1 + 16 + p + 3)(1 – 16 + p + 3)≤0， 解得–20≤p≤12．   …………………4分
⑵ 當時，即0≤q≤6時，
的值域為：[f (8)，f (q)]，即[p–61, q² –16q + p + 3].
∴區間長度為q² – 16q + p + 3 – (p – 61) = q² – 16q + 64 =" 12" – q．
∴q² – 15q + 52 =" 0" ∴，經檢驗不合題意，舍去．……6分
當時，即6≤q<8時，的值域為：，即[p – 61，p – 57]
∴區間長度為p – 57 – (p – 61) =" 4" =" 12" – q ∴q = 8．經檢驗q = 8不合題意，舍去. …8分
當q≥8時，的值域為：[f (q)，f (10)]，即 [q² – 16q + p +3，p – 57].
∴區間長度為p – 57 –(q² – 16q + p + 3) = –q² – 16q – 60 =" 12" – q,
∴q² – 17q + 72 =" 0" , ∴q = 8或q = 9．經檢驗q = 8或q = 9滿足題意．
所以存在常數q = 8或q = 9，當x∈[q，10]時，的值域為區間，且的長度為12–q．                                              ………………………10分