Question

已知拋物線C：y²=4（x-1），橢圓C₁的左焦點及左準線與拋物線C的焦點F和準線l分別重合．
（1）設B是橢圓C₁短軸的一個端點，線段BF的中點為P，求點P的軌跡C₂的方程；
（2）如果直線x+y=m與曲線C₂相交于不同兩點M、N，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），B（2x-2，2y）（x＞2，y≠0）．則c=（2x-2）-2=2x-4，b²=（2y）²=4y²，由（-c）-（- ）=2，知 =2，由此能求出C₂的軌跡方程．
（2）由，y≠0，知y²+y-m+2=0，再由根的判別式和題設條件能求出m的取值范圍．
解答：解：（1）拋物線y²=4（x-1）焦點為F（2，0），準線l：x=0．設P（x，y），
∵P為BF中點，
∴B（2x-2，2y）（x＞2，y≠0）．設橢圓C₁的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c，
則c=（2x-2）-2=2x-4，b²=（2y）²=4y²，
∵（-c）-（- ）=2，
∴=2，
即b²=2c．∴4y²=2（2x-4），
即y²=x-2（y≠0），此即C₂的軌跡方程．
（2）由，y≠0，知y²+y-m+2=0，
令△=1-4（-m+2）＞0，知m＞．
而當m=2時，直線x+y=2過點（2，0），這時它與曲線C2只有一個交點，
∴所求m的取值范圍是（ ，2）∪（2，+∞）．
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和應用，解題時要注意公式的合理運用．