Question

已知為實數，數列滿足，當時，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）證明：對于數列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，當時，求證：(6分)

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）詳見解析;（Ⅲ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）根據題意可得當時，成等差數列，當時，，可見由得出前項成等差數列，項以后奇數項為，偶數項為，這樣結合等差數列的前項公式就可求出;（Ⅱ）以和為界對進行分類討論，當時，顯然成立;當時，由題中所給數列的遞推關系，不難得到;當時，得，可轉化為當時的情況，命題即可得證; （Ⅲ）由可得，根據題中遞推關系可得出，進而可得出=，又，由于要對分奇偶性，故可將相鄰兩整數當作一個整體，要證不等式可進行適當放縮，要對分奇偶性，并結合數列求和的知識分別進行證明即可．
試題解析：（Ⅰ）由題意知數列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,從而= (3分)
=.       (5分)
（Ⅱ）證明：①若,則題意成立                 (6分)
②若,此時數列的前若干項滿足,即.
設,則當時,.
從而此時命題成立                    (8分)
③若,由題意得,則由②的結論知此時命題也成立.
綜上所述,原命題成立                   (10分)
（Ⅲ）當時，因為,
所以=       (11分)
因為>0,所以只要證明當時不等式成立即可.
而
             (13分)
①當時,
  (15分)
②當時,由于>0,所以<
綜上所述,原不等式成立                      (16分)
考點：1.數列的遞推關系;2.等差，等比數列的前n項和;3.不等式的證明