Question

如圖所示，已知圓，定點，為圓上一動點，點在上，點在上，且滿足，，點的軌跡為曲線．

(Ⅰ) 求曲線的方程；

(Ⅱ) 若點在曲線上，線段的垂直平分線為直線，且成等差數列，求的值，并證明直線過定點；

（Ⅲ）若過定點(0，2)的直線交曲線于不同的兩點、（點在點、之間），且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

解析:

解：(Ⅰ)由題意知，圓的圓心為，半徑．

∵．

∴ 為線段的垂直平分線，∴ ．

又∵ ，∴ ．

∴ 動點的軌跡是以點（－1，0），（1，0）為焦點且長軸長為的橢圓．                                               ……………………2分                            

∴ ．

∴ 曲線的方程為．                     ……………………3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲線的軌跡為橢圓，為右焦點，其右準線方程為

設到直線的距離為．

根據橢圓的定義知,

得．

同理可得：，．       ……………………5分

∵ 成等差數列，

∴ ，代入得．      ……………………6分

下面證明直線過定點．

由，可設線段的中點為（．

∴    得．

∴ 直線的斜率，則直線的方程為：，

即．                               ……………………8分

∴ 直線過定點，定點為．           　       ……………………9分

（Ⅲ）當直線斜率存在時，設直線方程為，

代入橢圓，得．

由得．                      　       ……………………10分

設，，     ①

 ．      ②

又∵ ，

即．        ∴ ．    ③

由①②③聯立得，     

即，整理得 ． ………………12分

∵ ，∴ ，

∴ ，解得且．

又∵ ，   ∴ ．                  ……………………13分

當直線斜率不存在時，直線方程為，此時，即．

∴ ，即所求的取值范圍是．          ……………………14分