Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求證：；
（2）若二面角為，求的長．

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）的長為．

解析試題分析：（1）在中,應用余弦定理得,從而得到．
再利用⊥平面，平面
得．
由⊥平面，平面得到．
（2）建立空間直角坐標系,利用“空間向量方法”得到，解得．
試題解析：（1）證明：在中,
所以,由勾股定理知所以 ．   2分
又因為 ⊥平面，平面
所以 ．                                           4分
又因為 所以 ⊥平面，又平面
所以 ．                                           6分

（2）因為⊥平面，又由（1）知，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 .
設，則,,，,，
.            8分
設平面的法向量為，則  所以
令.所以.                    9分
又平面的法向量                    10分
所以， 解得 ．          11分
所以的長為．                           12分
考點：直線與平面垂直，余弦定理，空間向量的應用.