Question

交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念性指數值，交通指數取值范圍為0～10，分為五個級別，0～2 暢 通；2～4 基本暢通；4～6 輕度擁堵；6～8 中度擁堵；8～10 嚴重擁堵．
早高峰時段，從北京市交通指揮中心隨機選取了四環以內的50個交通路段，依據其交通指數數據繪制的直方圖如圖．

（Ⅰ）這50個路段為中度擁堵的有多少個？
（Ⅱ）據此估計，早高峰四環以內的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴重擁堵為60分鐘，求此人所用時間的數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18
這50路段為中度擁堵的有18個． …（3分）
（Ⅱ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1
事件B“至少一個路段嚴重擁堵”，則P（）=（1-P（A））³=0.729
P（B）=1-P（）=0.271．
所以三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是0.271…（8分）
（III）設此人所用時間為X分鐘，X分布列如下表：

X	30	36	42	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

EX=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96
此人經過該路段所用時間的數學期望是39.96分鐘．…（13分）
分析：（Ⅰ）根據（0.2+0.16）×1×50=18可得這50路段為中度擁堵的數目；
（Ⅱ）設事件A“一個路段嚴重擁堵”，則P（A）=0.1．通過三個路段嚴重擁堵相互獨立，故利用相互獨立事件乘法公式可求三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率；
（III）此人所用時間的隨機變量X取值為30，36，42，60，根據題意可求相應的概率，進而可求X的數學期望．
點評：本題以實際問題為素材，考查離散型隨機變量的概率及期望，關鍵是正確運用公式．屬于中檔題．