Question

（本小題滿分16分）

對于函數y＝，x∈(0，，如果a，b，c是一個三角形的三邊長，那么，，也是一個三角形的三邊長， 則稱函數為“保三角形函數”．

對于函數y＝，x∈，，如果a，b，c是任意的非負實數，都有，，是一個三角形的三邊長，則稱函數為“恒三角形函數”．

（1）判斷三個函數“＝x，＝，＝(定義域均為x∈(0，)”中，那些是“保三角形函數”？請說明理由；

（2）若函數＝，x∈，是“恒三角形函數”，試求實數k的取值范圍；

（3）如果函數是定義在(0，上的周期函數，且值域也為(0，，試證明：既不是“恒三角形函數”，也不是“保三角形函數”．

 

Answer 1

【答案】

解析：（1）對于＝x，它在(0，上是增函數，不妨設a≤b≤c，則≤≤，因為a＋b＞c，所以＋＝a＋b＞c＝，故是“保三角形函數”．

對于＝，它在(0，上是增函數，，不妨設a≤b≤c，則≤≤，因為a＋b＞c，所以＋＝＋＝＞＞＝，故是“保三角形函數”．

對于＝，取a＝3，b＝3，c＝5，顯然a，b，c是一個三角形的三邊長，但因為＋＝＜＝，所以，，不是三角形的三邊長，故不是“保三角形函數”．

（2）解法1：因為＝1＋，所以當x＝0時，＝1；當x＞0時，＝1＋．

①當k＝－1時，因為＝1，適合題意．

②當k＞－1時，因為＝1＋≤1＋＝k＋2，所以∈，．從而當k＞－1時，∈，．由1＋1＞k＋2，得k＜0，所以－1＜k＜0．

③當k＜－1時，因為＝1＋≥1＋＝k＋2，所以∈，，從而當k＞－1時，所以∈，．由得，k＞，所以＜k＜－1．

綜上所述，所求k的取值范圍是(，0)．

解法2：因為＝＝，

①當k＝－1時，因為＝1，適合題意．

②當k＞－1時，可知在，上單調遞增，在，上單調遞減，而＝1，＝k＋2，且當x＞1時，＞1，所以此時∈，．

③當k＜－1時，可知在，上單調遞減，在，上單調遞增，而＝1，＝k＋2，且當x＞1時，＜1，所以此時∈，．

（以下同解法1）

（3）①因為的值域是(0，，所以存在正實數a，b，c，使得＝1，＝1，＝2，顯然這樣的，，不是一個三角形的三邊長．

故不是“恒三角形函數”．

②因為的最小正周期為T(T＞0)，令a＝b＝m＋kT，c＝n，其中k∈，且k＞，則a＋b＞c，又顯然b＋c＞a，c＋a＞b，所以a，b，c是一個三角形的三邊長．

但因為＝＝＝1，＝＝2，所以，，不是一個三角形的三邊長．

故也不是“保三角形函數”．

（說明：也可以先證不是“保三角形函數”，然后根據此知也不是“恒三角形函數”．）

 

【解析】略