Question

【題目】已知正項數列與正項數列的前項和分別為和，且對任意，恒成立.

（1）若，求數列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，若，求；

（3）若對任意，恒有及成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據與的關系，可得，然后計算，可得結果.

（2）根據（1）的條件，可得，然后根據，以及公式法，可得結果.

（3）根據的關系，可得，進一步可得，然后計算，最后根據裂項相消求和，可得結果.

（1）由

則

兩式相減可得：

當時，

又，故

所以

數列是以2為首項，1為公差的等差數列

所以

（2）由

所以，又

所以

數列是以1為首項，為公差的等差數列

所以，

即

（3）由①，可知②

②-①：③

又，把③代入，

可得，

所以

數列是以為首項，2為公比的等比數列

所以，

則，

所以

令

所以

即，

可知是在的遞增的數列

由，且

故