Question

設(shè)函數(shù)（其中），且方程的兩個(gè)根分別為、.
（1）當(dāng)且曲線過原點(diǎn)時(shí)，求的解析式；
（2）若在無極值點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）先將代入函數(shù)的解析式，利用“曲線過原點(diǎn)”先求出的值，然后求出二次函數(shù)的解析式，利用“、為二次方程的兩個(gè)根”并結(jié)合韋達(dá)定理求出、的值，最終確定函數(shù)的解析式；（2）先利用“、為二次方程的兩個(gè)根”并結(jié)合韋達(dá)定理確定、與的關(guān)系，然后求出，對與進(jìn)行分類討論，將在無極值點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對進(jìn)行檢驗(yàn)；當(dāng)時(shí)，得到，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，
由于曲線過原點(diǎn)，則有，，
，令，
由題意知，、是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由韋達(dá)定理得，
，；
（2），
由于、是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由韋達(dá)定理得，，
解得，，，
，
當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
此時(shí)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，不合乎題意；
故，由于函數(shù)在無極值點(diǎn)，則，
即，化簡得，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.