Question

已知函數f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0）
（I）若直線l₁交函數f（x）的圖象于P，Q兩點，與l₁平行的直線l₂與函數f（x）的圖象切于點R，求證 P，R，Q三點的橫坐標成等差數列；
（II）若不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（III）求證：+++…+＜〔其中n≥2，n∈N^*，e為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0），知f′（x）=-4x+4，設切點R（x，y）則=-4x+4．由此入手能夠證明P、R、Q三點的橫坐標成等差數列．
（Ⅱ）由f （x）+g（x）-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，令F（x）=2x²-alnx（x＞0），則．由F′（x）=0，得x=．由此利用不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，能求出實數a的取值范圍．
（Ⅲ）由（2）知當a=2e時，2x²-2elnx≥0，得≤，由此能夠證明+++…+＜．
解答：（Ⅰ）證明：∵函數f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0），
∴f′（x）=-4x+4，設切點R（x，y）
則=-4x+4．
令l₂：y=（-4x+4）x+b．
聯立，消去y得 2x²-4xx+b=0．
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=2x，
即P、R、Q三點的橫坐標成等差數列．  （4分）
（Ⅱ）解：由已知有f （x）+g（x）-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，
令F（x）=2x²-alnx（x＞0），
則．
由F′（x）=0，得x=．
當0＜x＜時，F′（x）＜0，F（x）在區間（0，）上遞減；
當時，F′（x）＞0，F（x）在區間（，+∞）上遞增．
∴F_min=F（）=≥0，得0＜a≤4e．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當a=2e時有2x²-2elnx≥0，得≤，
∴
≤
＜
=＜．  （14分）
點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．