Question

在如圖所示的10塊地上選出6塊種植A₁、A₂、…、A₆等六個不同品種的蔬菜，每塊種植一種不同品種蔬菜，若A₁、A₂、A₃必須橫向相鄰種在一起，A₄、A₅橫向、縱向都不能相鄰種在一起，則不同的種植方案有（ ）

A．3120
B．3360
C．5160
D．5520

Answer 1

【答案】分析：本題是一個分類和分步原理的綜合應用，A1、A2、A3橫向相鄰種，在這三種蔬菜的排列就是1×2×3，同時排在上排與排在下排又是兩種方案，比較復雜的是A4與A5的可以選擇的方案．分兩種情況，當A4與A1、A2、A3在同一排時，又分兩種情況，根據計數原理得到結果．
解答：解：由題意知本題是一個分類和分步原理的綜合應用，
A1、A2、A3橫向相鄰種，在這三種蔬菜的排列就是1×2×3=6種方案；
同時排在上排與排在下排又是兩種方案，所以對于A1、A2、A3來說，總共有2×1×2×3=12種方案；對于A6來說，沒有任何條件限制，所以在其他五種蔬菜確定后總會有5種可選擇的方案；比較復雜的是A4與A5的可以選擇的方案．分兩種情況：當A4與A1、A2、A3在同一排時，又分兩種情況
（1）A1、A2、A3在兩邊時（左邊和右邊），A4有兩種選擇，
由于A4與A5不能相鄰，則A5都有4種選擇，則方案有2×2×4=16種方案；（2）A1、A2、A3在中間時，A4有兩種選擇，A4確定后，A5還有5種選擇方案，所以，有2×5=10種；當A4與A1、A2、A3不在同一排時，同樣分兩種情況：（1）A1、A2、A3在兩邊時（左邊和右邊），A4有5種選擇，但對于A5的選擇會有不同
又分三種情況：一是，A4與A1、A2、A3在同一邊最邊上，A5就有5種選擇，1×5=5種；
二是，A4不在最邊上，也不在A1、A2、A3的上下相鄰的位置時，A5只有3種選擇，1×3=3種；
三是，A4在其他3個位置時，A5有4種選擇，3×4=12種；
在左邊和在右邊都一樣，所以上面的選擇都要乘以2．（2）A1、A2、A3在中間時，A4也有5種選擇，A4確定后，A5的選擇有4種，共有：5×4=20種；這樣，全部可供選擇的方案是：12×5×（16+10+20×2+20）=5160．
故選C．
點評：本題考查計數原理的綜合應用，本題解題的關鍵是對于題目中的分類和分步要做到不重不漏，本題是一個比較困難的排列組合問題，是一個易錯題．