Question

（本小題滿分14分）
（本題滿分14分）設函數＝，∈R
（1）若＝為的極值點，求實數；
（2）求實數的取值范圍，使得對任意的（0,3]，恒有≤4成立.
注：為自然對數的底數。

Answer 1

（1） 或；（2）.

第一問利用導數在＝為的極值點，先求導，然后在x=e處的導數值為零得到a的值。
第二問中，要是對任意的（0,3]，恒有≤4成立，只需求解函數y=f(x)在給定區間（0,3]的最大值小于等于4即可。
解:(1)求導得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).（2分）
因為x=e是f(x)的極值點，所以f’(e)= ，（3分）
解得 或，經檢驗，符合題意，所以 或。（4分）
（2）解:①當時，對于任意的實數a,恒有成立，（6分）
②當，由題意，首先有，
解得            （7分）
由（Ⅰ）知，，
則，，
且
=。              （8分）
又在（0，+∞）內單調遞增，所以函數在（0，+∞）內有唯一零
點，記此零點為，則，。從而，當時，；
當時，；當時，，即在內
單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增。    （10分）
所以要使對恒成立，只要
成立。
，知（3）
將（3）代入（1）得，                  （12分）
又，注意到函數在[1,+∞)內單調遞增，故。
再由（3）以及函數2xlnx+x在（1.+ +∞)內單調遞增，可得。
由（2）解得，。
所以
綜上，a的取值范圍為。               （14分）