Question

【題目】設平面向量 =（cosx，sinx）， =（cosx+2 ，sinx）， =（sinα，cosα），x∈R．
（1）若 ，求cos（2x+2α）的值；
（2）若α=0，求函數f（x）= 的最大值，并求出相應的x值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若 ，則 =0，

∴cosxsinα+sinxcosα=0，

∴sin（x+α）=0，

∴cos（2x+2α）=1﹣2sin2（x+α）=1．

（2）

若α=0， =（0，1），

則f（x）= =（cosx，sinx）（cosx+2 ，sinx﹣2）=cosx（cosx+2 ）+sinx（sinx﹣2）=1﹣2sinx+2 cosx=1+4sin（x+ ），

所以，f（x）max=5，x=2kπ﹣ （k∈Z）．

【解析】（1）利用兩個向量垂直，它們的數量積等于0，以及二倍角的余弦公式求得cos（2x+2α）的值．（2）若α=0，則 =（0，1），由題意化簡可得函數解析式：f（x）=1+4sin（x+ ），利用正弦函數的有界性求出函數的最值．
【考點精析】掌握兩角和與差的余弦公式是解答本題的根本，需要知道兩角和與差的余弦公式：．