Question

揚(yáng)州某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為平方米，且高度不低于米．記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為（米），外周長(zhǎng)（梯形的上底線段與兩腰長(zhǎng)的和）為（米）.

⑴求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
⑵要使防洪堤橫斷面的外周長(zhǎng)不超過(guò)米，則其腰長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
⑶當(dāng)防洪堤的腰長(zhǎng)為多少米時(shí)，堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省（即斷面的外周長(zhǎng)最小）？求此時(shí)外周長(zhǎng)的值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）外周長(zhǎng)的最小值為米，此時(shí)腰長(zhǎng)為米.

試題分析：（1）將梯形高、上底和下底用或表示，根據(jù)梯形面積的計(jì)算得到和的等式，從而解出，使問(wèn)題得以解答，但不要忘記根據(jù)題目條件確定函數(shù)的定義域；（2）由（1）可得，解這個(gè)不等式的同時(shí)不要忽略了函數(shù)的定義域就可得到結(jié)果；（3）即求（1）中函數(shù)的最小值，可以用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.
試題解析：⑴，其中，，
∴，得，   由，得
∴；                              6分
⑵得∵ ∴腰長(zhǎng)的范圍是   10分
⑶，當(dāng)并且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
∴外周長(zhǎng)的最小值為米，此時(shí)腰長(zhǎng)為米。            16分