Question

某部門要設計一種如圖所示的燈架，用來安裝球心為O，半徑為R（米）的球形燈泡．該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成，其中圓弧形燈托，，，所在圓的圓心都是O、半徑都是R（米）、圓弧的圓心角都是θ（弧度）；燈桿EF垂直于地面，桿頂E到地面的距離為h（米），且h＞R；燈腳FA₁，FB₁，FC₁，FD₁是正四棱錐F-A₁B₁C₁D₁的四條側棱，正方形A₁B₁C₁D₁的外接圓半徑為R（米），四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ（弧度）．已知燈桿、燈腳的造價都是每米a（元），燈托造價是每米（元），其中R，h，a都為常數．設該燈架的總造價為y（元）．
（1）求y關于θ的函數關系式；
（2）當θ取何值時，y取得最小值？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意把4根燈腳及燈架寫成是關于θ的表達式，運用弧長公式把4根燈托也用θ表示，然后乘以各自的造價作和即可得到y關于θ的函數關系式；
（2）對（1）求出的函數式進行求導計算，分析得到當θ=時函數取得極小值，也就是最小值．
解答：解：如圖，

（1）延長EF與地面交于O₁，由題意知：∠A₁FO₁=θ，且，
從而EF=h-，，
則，．
（2），
設，
令=
=．
得：1-2cosθ=0，所以．
當θ∈時，f^′（θ）＜0．
當θ∈時，f^′（θ）＞0．
設，其中，∴．
∴，∴時，y最小．
答：當時，燈架造價取得最小值．
點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了利用導數求函數的最值，解答此題時要注意實際問題要注明符合實際意義的定義域，此題是中檔題．