Question

設兩非零向量e₁和e₂不共線.

(1)如果=e₁+e₂,=2e₁+8e₂,=3(e₁-e₂),求證：A、B、D三點共線;

(2)試確定實數k,使ke₁+e₂和e₁+ke₂共線.

Answer 1

思路分析：要證明A、B、D三點共線,需證存在λ,使=λ(e₁+e₂)即可.而若ke₁+e₂和e₁+ke₂共線,則一定存在λ,使ke₁+e₂=λ(e₁+ke₂).

(1)證明：∵=e₁+e₂,=2e₁+8e₂+3e₁-3e₂=5(e₁+e₂)=5,

∴、共線.又有公共點B,

∴A、B、C三點共線.

(2)解：∵ke₁+e₂和e₁+ke₂共線,

∴存在λ,使ke₁+e₂=λ(e₁+ke₂),

則(k-λ)e₁=(λk-1)e₂.

由于e₁與e₂不共線,

只能有k-λ=0,λk-1=0.

則k=±1.

方法歸納 本題是兩個向量共線的充要條件的應用,只需根據以其中某一點為起點,以另外兩點為終點的向量a、b共線,存在實數λ使得a=λb(b≠0),然后利用待定系數法確定參數值.

深化升華 由平面向量共線定理可以得到以下兩條常用的性質：(1)設e₁、e₂是兩個不共線的向量,若me₁+ne₂=se₁+te₂(m、n、s、t為實數),則有(2)設e₁、e₂是兩個不共線的向量,若me₁=ne₂,則有m=n=0.