Question

設定義在R上的函數f（x）是最小正周期π的偶函數，f′（x）是函數f（x）的導函數，當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1； 當x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＞0，則函數y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零點個數為（　　）

• A、2
• B、4
• C、5
• D、8

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,導數的運算

專題：函數的性質及應用

分析：根據條件求出函數f（x）的性質，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：∵當x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＞0，
∴當

π

2

＜x＜π時，f′（x）＞0，函數遞增，
當0＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，函數遞減，
∵函數f（x）是最小正周期π的偶函數，
∴由y=f（x）-sinx=0得f（x）=sinx，
作出函數f（x）和y=sinx，在[-2π，2π]的圖象如圖：
則兩個函數的交點個數為4個，
故函數的零點個數為4個，
故選：B

點評：本題主要考查函數零點個數的判斷，根據條件求出函數f（x）的性質，結合函數的導數和單調性之間的關系將函數零點轉化為兩個函數圖象的交點問題是解決本題的關鍵．