Question

(本小題12分) 如圖四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，側棱與底邊長均為a，
且∠A₁AD=∠A₁AB=60°。

①求證四棱錐 A₁-ABCD為正四棱錐；
②求側棱AA₁到截面B₁BDD₁的距離；
③求側面A₁ABB₁與截面B₁BDD₁的銳二面角大小。

Answer 1

（1）因為Rt△ABD的外心是斜邊BD的中點，所以O是底面正方形ABCD的中心，因此證明。
（2）a
（3）arctan。

試題分析：（1）由AA₁＝AD＝AB，及∠A₁AD＝∠A₁AB＝60°△A₁AD、△AA₁B都是正三角形，從而AA₁＝A₁D＝A₁B，設A₁在底面ABCD的射影為O，則由斜線長相等推出射影長也相等，所以O是Rt△ABD的外心，因為Rt△ABD的外心是斜邊BD的中點，所以O是底面正方形ABCD的中心。所以四棱錐A₁—ABCD是正四棱錐。

（2）由DB⊥平面AA₁O截面BB₁D₁D⊥平面AA₁O點O與側棱AA₁的距離d等于AA₁和截面BB₁D₁D之間的距離。取AA₁的中點M，則OM∥A₁C，且OM⊥AA₁，OM＝A₁C＝a，∴所求距離為a。
（3）注意到所求二面角的棱是B₁B，由M是AA₁的中點MB⊥AA₁，B₁B∥AA₁MB⊥B₁B，又DB⊥AA₁，AA₁//B₁BDB⊥B₁B，

∴∠MBD是所求二面角的平面角。不妨設AB＝a＝2，則BD＝2，MB＝MD＝，
∴tanMBD＝。
∴側面A₁ABB₁與截面B₁BDD₁的夾角為arctan。
點評：對于立體幾何中的角和距離的求解是高考的一個方向，那么解決這類問題一般可以從兩個角度來做，一個就是利用幾何性質，結合定理和推論來了得到，另一個就是建立直角坐標系，通過法向量和直線的方向向量來表示得到，屬于中檔題。