Question

已知數列的首項.
（1）求證：是等比數列，并求出的通項公式；
（2）證明：對任意的；
（3）證明：.

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）見解析

試題分析：（1）將兩邊去倒數并常量分量，然后所得式子變形數列{}的第n+1項是第n項若干倍形式，根據等比數列定義即可判定{}是等比數列，利用等比數列通項公式，先求出{}的通項公式，再解出的通項公式；（2）將不等式右側式子配湊的通項公式形式，再將其化為關于的二次函數最值問題，通過放縮即可證明該不等式；（3）先將的通項公式常量分量，代入，通過放縮即可證明不等式的左半部分，對利用（2）的結論縮小，出現首項為，公比為的等比數列的前n項和，數列取為該數列前n項和的算術平局值，即可證明該不等式右半部分.
試題解析：（1），又
所以是以為首項，以為公比的等比數列．
                5分
（2）由（1）知

                      9分  
（3）先證左邊不等式，由知；當時等號成立；       11分
再證右邊不等式，由（2）知，對任意，有，
取，
則          14分
考點:等比數列定義、通項公式、前n項和公式；二次函數最值；放縮法；轉化與化歸思想；運算求解能力