Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
（1）證明：當b=2時，{an-n•2n-1}是等比數列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）當b=2時，由題設，再寫一式，兩式相減，可得a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1），所以{a_n-n•2^n-1}是首項為1，公比為2的等比數列；
（2）當b=2時，由題設條件知a_n=（n+1）2^n-1；當b≠2時，可得a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n+2ⁿ-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n-

b

2-b

•2ⁿ=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ），由此能夠導出{a_n}的通項公式．

解答：（1）證明：由題意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，
ba_n+1-2ⁿ⁺¹=（b-1）S_n+1
兩式相減得b（a_n+1-a_n）-2ⁿ=（b-1）a_n+1
即a_n+1=ba_n+2ⁿ①
當b=2時，由①知a_n+1=2a_n+2ⁿ
于是a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1）
又a₁-1•2⁰=1≠0，所以{a_n-n•2^n-1}是首項為1，公比為2的等比數列；
（2）解：當b=2時，由（1）知a_n-n•2^n-1=2^n-1，即a_n=（n+1）2^n-1，
當b≠2時，由①得a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n+2ⁿ-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n-

b

2-b

•2ⁿ=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ）
因此a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ）=

2(1-b)

2-b

•bⁿ，
即a_n+1=

1

2-b

•2ⁿ⁺¹+

2(1-b)

2-b

•bⁿ，
所以a_n=

1

2-b

•2ⁿ+

2(1-b)

2-b

•b^n-1

點評：本題重點考查數列的遞推公式，利用遞推公式求數列的通項公式，同時考查分類討論思想，屬于中檔題．