Question

下列命題中，錯誤命題的序號是

（1）（2）（4）

．
（1）已知△ABC中，a＞b?A＞B?sinA＞sinB．
（2）已知△ABC中，a=3，b=5，c=7，S_△ABC=

15 3

4

．
（3）已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，則其前5項的和為31．
（4）若數列{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-1，則a_n=2ⁿ，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理進行判斷．（2）利用余弦定理求一個夾角，然后利用三角形的面積公式求三角形的面積．
（3）利用遞推數列進行判斷．（4）利用S_n與a_n的關系求通項公式．

解答：解：（1）在三角形中，根據大邊對大角知a＞b?A＞B成立，由正弦定理

a

sin?A

=

b

sin?B

得a＞b?sinA＞sinB，所以（1）正確．
（2）由余弦定理知cos?C=

32+52-72

2×3×5

=-

1

2

，所以sinC=

3

2

，所以三角形的面積為S=

1

2

absin?C=

1

2

×3×5×

3

2

=

15 3

4

，所以（2）正確．
（3）由a₁=1，a_n+1=2a_n+1，得a₂=3，a₃=7，a₄=15，a₅=31，所以前5項和為S=1+3+7+15+31=57，所以（3）錯誤．
（4）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），即a_n=2a_n-1，所以{a_n}是以公比q=2的等比數列，當n=1時，a₁=2，所以an=2?2n-1=2n，所以（4）正確．
故答案為：（1）（2）（4）

點評：本題主要考查與數列和解三角形有關的命題的真假判斷，綜合性性較強，涉及的知識點較多．