Question

已知橢圓
（1）過橢圓上點P作x軸的垂線PD，D為垂足，當點P在橢圓上運動時，求線段PD中點M的軌跡方程；
（2）若直線x-y+m=0與已知橢圓交于A、B兩點，R（0，1），且|RA|=|RB|，求實數m的值．

Answer 1

解：（1）設PD中點M（x，y），P（x′，y′），依題意x=x′，y=
∴x′=x，y′=2y
又點P在上，∴，即
∴線段PD的中點M軌跡方程為；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線x-y+m=0與已知橢圓方程聯立，消去y可得
∴x₁+x₂=-
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=
∴AB的中點坐標為（-）
∵R（0，1），且|RA|=|RB|，
∴
∴
分析：（1）確定P、M坐標之間的關系，利用點P在橢圓上，即可求得線段PD中點M的軌跡E的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理確定AB的中點坐標，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之間的關系，從而可得結論．
點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．