Question

如圖，三棱錐中，，，，點在平面內的射影恰為的重心，M為側棱上一動點．

（1）求證：平面平面；
（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

試題分析：（1）證明平面平面，證明面面垂直，先證線面垂直，即證一個平面過另一個平面的垂線，本題根據面面垂直的判定定理可知在平面內找一條直線與平面垂直，由已知平面，可得，由題意可知，是等腰三角形，且為重心，既得，從而得平面，可證平面平面；（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值，求線面角，傳統方法是找線和射影所成的角，本題找射影比較麻煩，可用向量法來求，過作的平行線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，求出平面的一個法向量，利用線面角的正弦值等于線和法向量所成角的余弦值即可求出直線與平面所成角的正弦值．
試題解析：（1）取中點，連接、，
∵平面，∴
等腰中，為重心，∴
∴平面 
∴平面平面               6分
（2）中， ∴
∵平面 ∴
∴ ∴
過作的平行線為軸，為軸，為軸
建立空間直角坐標系
   
∴  
設直線與平面所成角為
設平面的法向量為 
     ∴

 ∴     12分