Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD所在平面與等腰直角三角形BEC所在平面互相垂直，BE⊥EC，AB=BE，M為線段AE的中點．
（Ⅰ） 證明：BM⊥平面AEC；
（Ⅱ） 求MC與平面DEC所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為平面ABCD⊥平面BEC，
所以AB⊥平面BEC，故AB⊥EC．
因為BE⊥EC，所以EC⊥平面ABE，
故EC⊥BM．
因為AB=BE，M為AE的中點，所以AE⊥BM．
所以BM⊥平面AEC．
解：（Ⅱ）如圖，將幾何體ABCDE補成三棱柱AFD﹣BEC，
設EF的中點為G，連結MG，GC．
因為MG∥BE，所以MG⊥平面DEC．
因此∠MCG為MC與平面DEC所成的角．
不妨設AB=2，則AB=BE=EC=2，
因此MG=1， ， ，
故 ，
所以MC與平面DEC所成的角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由已知推導出AB⊥EC，EC⊥BM，AE⊥BM，由此能證明BM⊥平面AEC．（Ⅱ）將幾何體ABCDE補成三棱柱AFD﹣BEC，設EF的中點為G，連結MG，GC，推導出∠MCG為MC與平面DEC所成的角，由此能求出MC與平面DEC所成的角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．