Question

（本小題滿分12分）

已知函數f(x)=x²-alnx在（1,2]上是增函數，g(x)=x-a 在（0,1）上為減函數；

（1）求f(x)、g(x)的表達式；

（2）求證：當x＞0 時，方程f(x)=g(x)+2有唯一解；

（3）當b＞-1時，若f(x)≥2bx-對0＜x≤1恒成立，求b的取值范圍。

Answer 1

解: 解：（1）∵f(x)在（1,2]上是增函數, ∴對恒成立

2x-≥0對恒成立,

∵g(x)在（0,1）上是減函數, ∴對恒成立對恒成立，

∴ a=2，即：f(x)=x²-2lnx，g(x)=x-2------------------------------------4分

（2）f(x)=g(x)+2

∵

∴x＞1時，M＞0,x＜1時，M＜0，

∴--------------------------7分

（3）對恒成立對恒成立。

∵，

∴g(x)在（0,1]遞減，∴2b≤g(x)_最小值=g(1)=2，即b≤1，有b＞-1

∴b的取值范圍為（-1,1]。------------------------------------------------12分