Question

(本小題滿分12分)已知：y = f (x) 定義域為［–1，1］，且滿足：f (–1) = f (1) = 0 ，對任意u ,v??[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判斷函數p ( x ) = x² – 1 是否滿足題設條件？(2) 判斷函數g(x)=，是否滿足題設條件？

Answer 1

(Ⅰ) 不滿足  (Ⅱ)  滿足

解析:

： (1) 若u ,v ?? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u² – v² |=| (u + v )(u – v) |，取u = ??[–1，1]，v = ??[–1，1], 則  |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | > | u – v |，所以p( x)不滿足題設條件.

（2）分三種情況討論：

1⁰. 若u ,v ?? [–1，0]，則|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，滿足題設條件；

2⁰. 若u ,v ?? [0，1]， 則|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，滿足題設條件；

3⁰. 若u??[–1，0]，v??[0，1]，則：

    |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，滿足題設條件;

4⁰  若u??[0，1]，v??[–1，0], 同理可證滿足題設條件.綜合上述得g(x)滿足條件.