Question

【題目】已知雙曲線的離心率為，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為．

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點(diǎn)，，且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

(1)由焦點(diǎn)到漸近線的距離可求出,再由離心率求出,從而得到雙曲線方程;

(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可知,利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段的垂直平分線方程,再利用題設(shè)面積可求出,結(jié)合即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

(1)焦點(diǎn)到漸近線的距離為,

又,∴,∴,

∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)設(shè)直線的方程為,,,

則由消去,可得,

根據(jù)題意可知,且,

即①,

設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,

則,,

∴線段的垂直平分線方程為,

此直線與軸,軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,

∴,化簡可得②,

將②代入①得,

即,解得或,

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.