Question

已知F₁，F₂分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，半焦距為c，直線x=-與x軸的交點為N，滿足，設A、B是上半橢圓上滿足的兩點，其中．
（1）求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍；
（2）過A、B兩點分別作橢圓的切線，兩切線相交于一點P，試問：點P是否恒在某定直線上運動，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由于，
∴
解得a²=2，b²=1，從而所求橢圓的方程為=1．
∵三點共線，而點N的坐標為（-2，0）．
設直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由消去x得，即．
根據條件可知解得，依題意取．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據韋達定理，得，
又由，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
，∴從而
從而消去y₂得．
令，則．
由于，所以φ'（λ）＜0．
∴φ（λ）是區間上的減函數，從而，
即，∴，解得，而，∴．
故直線AB的斜率的取值范圍是．
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），則可得切線PA的方程是，
而點A（x₁，y₁）在此切線上，有即x₀x₁+2y₀y₁=x₁²+2y₁²，
又∵A在橢圓上，∴有x₀x₁+2y₀y=2，①同理可得x₀x₂+2y₀y₂=2．②
根據①和②可知直線AB的方程為，x₀x+2y₀y=2，而直線AB過定點N（-2，0），∴-2x₀=2?x₀=-1，
因此，點P恒在直線x=-1上運動．
分析：（1）依據題意聯立方程求得a，b，則拖得方程可得．根據判斷出A，B，N三點共線，進而設出直線AB的方程，與橢圓的方程聯立消去x，根據判別式大于0求得k的范圍，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據韋達定理，可表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用求得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），聯立方程組消去y₂，求得λ和k的關系，令進而進行求導，推斷函數的單調性，根據λ的范圍求得k的范圍．
（2）設出P的坐標，進而求得PA的方程，把點A代入，同時代入橢圓的方程，推斷出直線AB的方程，根據其過定點求得x₀，進而推斷出點P恒在直線x=-1上運動．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，平時應作為重點來復習訓練．