Question

【題目】如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD，從而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空間直角坐標系D-xyz，分別求出平面BEF的法向量為和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值

試題解析：（1）證明：因為DE⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以DE⊥AC． 因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

又BD，DE相交且都在平面BDE內，從而AC⊥平面BDE．

（2）因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系Dxyz，如圖所示．

因為DE⊥平面ABCD，所以BE與平面ABCD所成角就是∠DBE．已知BE與平面ABCD所成角為60°，所以∠DBE＝60°，所以

由AD＝3可知DE＝3，AF＝．

由A（3，0，0），F（3，0， ），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），

得＝（0，－3， ），＝（3，0，－2）．設平面BEF的法向量為n＝（x，y，z），

則即令z＝，則n＝（4，2， ）．

因為AC⊥平面BDE，所以為平面BDE的法向量m＝（3，－3，0），

所以cos〈n，m〉＝＝．

因為二面角為銳角，所以二面角FBED的余弦值為．