Question

對正整數，設拋物線，過任作直線交拋物線于兩點，則數列的前項和公式是××××× .

Answer 1

分析：設A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），直線方程為x=ty+2n，代入拋物線方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，求出 ? 的表達式，然后利用韋達定理代入得? =-4n²-4n，故可得 =-2n，據此可得數列的前n項和．
解：設直線方程為x=ty+2n，代入拋物線方程得y²-2（2n+1）ty-4n（2n+1）=0，
設A_n（x_n1，y_n1），B（x_n2，y_n2），
則? =x_n1x_n2+y_n1y_n2=(t²+1)y_n1y_n2+2nt(y_n1+y_n2)+4n²，
用韋達定理代入得? =-4n(2n+1)(t²+1)+4n(2n+1)t²+4n²=-4n²-4n，
故=-2n，
故數列的前n項和-n（n+1），
故答案為-n（n+1）．