Question

已知函數f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是實常數，ω＞0）的最小正周期為2，并當x=

1

3

時，f（x）_max=2．
（1）求f（x）．
（2）在閉區間[

21

4

，

23

4

]上是否存在f（x）的對稱軸？如果存在，求出其對稱軸方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據最小正周期求出w的值，再由當x=

1

3

時，f（x）_max=2和三角函數的性質可求出A，B的值，進而得到函數f（x）的解析式．
（2）令πx+

π

6

=kπ+

π

2

求出x的值，再根據x的范圍確定k的范圍，最后由k為整數可確定答案．

解答：解：（1）∵T=

2π

w

=2，∴w=π
A²+B²=4，Asin

π

3

+Bcos

π

3

=

3

2

A+

B

2

=2
∴A=

3

，B=2
∴f（x）=

3

sinπx+cosπx=2sin（πx+

π

6

）．
（2）令πx+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z．
∴x=k+

1

3

，

21

4

≤k+

1

3

≤

23

4

．
∴

59

12

≤k≤

65

12

．
∴k=5．
故在[

21

4

，

23

4

]上只有f（x）的一條對稱軸x=

16

3

．

點評：本題主要考查三角函數的最小正周期的求法和對稱軸的求法．三角函數的基礎知識是解題的關鍵，要熟練掌握．