Question

如圖△ABC中，AC=BC=AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點．
（1）求證：GF∥平面ABC；
（2）求證：平面EBC⊥平面ACD；
（3）求幾何體ADEBC的體積V．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BE的中點H，連接HF，GH．通過證明GF所在的平面HGF，平面HGF∥平面ABC．然后說明GF∥平面ABC；
（2）通過證明AC⊥平面BCE，AC?平面ACD，然后證明平面EBC⊥平面ACD；
（3）取AB的中點N，連接CN，說明CN⊥平面ABED，求出底面面積，即可求解幾何體ADEBC的體積V．
解答：解：
（1）證明：如圖，取BE的中點H，連接HF，GH．
∵G，F分別是EC和BD的中點，
∴HG∥BC，HF∥DE．
又∵四邊形ADEB為正方形，
∴DE∥AB，從而HF∥AB．
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．
∴平面HGF∥平面ABC．
∴GF∥平面ABC．
（2）證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB．
又∵平面ABED⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC．
∴BE⊥AC．
又∵CA²+CB²=AB²，∴AC⊥BC．
∴AC⊥平面BCE．
從而平面EBC⊥平面ACD．
（3）取AB的中點N，連接CN，∵AC=BC，
∴CN⊥AB，且CN=AB=a．
又平面ABED⊥平面ABC，
∴CN⊥平面ABED．
∵C-ABED是四棱錐，
∴V_C-ABED=S_ABED•CN=a²•a=a³．
點評：本題考查直線與平面平行平面與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力轉化思想以及計算能力．