Question

已知函數f（x）=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
（1）若函數f（x）在x=1處有極值-

4

3

，試確定b、c的值；
（2）在（1）的條件下，曲線y=f（x）+m與x軸僅有一個交點，求實數m的取值范圍；
（3）記g（x）=|f′（  x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，若M≥k對任意的b、c恒成立，試求k的取值范圍．
（參考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，根據題意f′（x）=0應有根x=1，可得一個關系式，再借助極值建立等量關系，解二元一次方程組即可，應注意導數為0是取極值的必要不充分條件．
（2）曲線f（x）與x軸僅有一個交點，可轉化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．
（3）根據題意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范圍即可．

解答：解：（1）解

f(1)=- 4 3 f/(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

．…（2分）
若

b=1 c=-1

，f(x)=-

1

3

x3+x2-x-1，f'（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上單調遞減，在x=1處無極值；
若

b=-1 c=3

，f(x)=-

1

3

x3-x2+3x-3，f'（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），
直接討論知，f（x）在x=1處有極大值，所以

b=-1 c=3

為所求．…（4分）
（2）由（1）y=f(x)+m=-

1

3

x3-x2+3x-3+m，y極小值=m-12，y極大值=m-

4

3

，…（6分）
當y_極小值=m-12＞0，或y極大值=m-

4

3

＜0，曲線y=f（x）+m與x軸僅有一個交點．…（8分）
因此，實數m的取值范圍是m＞12或m＜

4

3

．…（9分）
（3）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，
則f'（x）在[-1，1]是單調函數，M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，因為f'（1）與f'（-1）之差的絕對值|f'（1）-f'（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．…（11分）
若|b|≤1，f'（x）在x=b∈[-1，1]取極值，
則M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|，|f'（b）|}，f'（b）-f'（±1）=（b?1）²．
若-1≤b＜0，f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），M=max{|f′(1)|，|f′(b)|}≥

1

2

|f′(1)-f′(b)|=

1

2

(b-1)2＞

1

2

；
若0≤b≤1，f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），M=max{|f'（-1）|，|f'（b）|}≥

1

2

|f′(-1)-f′(b)|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
當b=0，c=

1

2

時，g(x)=|f′(x)|=|-x2+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．…（13分）
所以，k的取值范圍是(-∞，

1

2

]．…（14分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，通過極值求解系數，，考查利用導數求函數的最值，從而解決恒成立問題，屬于中檔題．