Question

如圖，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為平行四邊形，其中AB＝， BD＝BC＝1， AA₁＝2，E為DC的中點，F是棱DD₁上的動點．

(1)求異面直線AD₁與BE所成角的正切值；
(2)當DF為何值時，EF與BC₁所成的角為90°？

Answer 1

(1)3；（2）

解析試題分析：（1）求異面直線所成的角，應該先找后求，異面直線所成的角是指將兩條異面直線經過平行移動后，移到相交位置時，所成的銳角或直角，故平移直線是找異面直線所成角的關鍵，通常平移辦法有中位線平移、平行四邊形平移、比例線段平移，找到所求的角后，然后借助平面圖形去求；（2）直線和直線 垂直，通常采取的辦法是，先證明線面垂直，進而證明線線 垂直，而證明線面垂直，又需要兩個線線垂直關系，所以需從圖里盡可能挖掘隱藏的垂直關系.
試題解析：(1)連接₁.在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，∵,∥,∴四邊形是平行四邊形，所以∥,∴就是異面直線AD₁與BE所成角或者是其補角，因為是邊的中點，所以,又在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，,∴面,所以,在Rt△BEC₁中，BE＝，EC₁＝，所以tan ∠EBC₁＝=3；
（2）當DF＝時，EF與BC₁所成的角為9 0°，由(1)知，面，∴,∴當時，面，從而，在矩形中，又DE＝EC＝，CC₁＝AA₁＝2.
當DF=時，因為，,  所以△DEF∽△CC₁E，所以∠DEF＋∠CEC₁＝90°，
所以∠FEC₁＝90°，即FE⊥EC₁.又EB∩EC₁＝E，所以EF⊥平面BEC₁，
所以EF⊥BC₁，即EF與BC₁所成的角等于90°.
考點：1、異面直線所成的角；2、直線和平面垂直.