Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F（﹣2，0），且長軸長與短軸長的比是 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M（m，0）在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點．當 最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓C的方程為 ．

由題意

解得a2=16，b2=12．

所以橢圓C的方程為

（2）解：設P（x，y）為橢圓上的動點，由于橢圓方程為 ，故﹣4≤x≤4．

因為 ，

所以 = ．

因為當 最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，

即當x=4m時， 取得最小值．而x∈[﹣4，4]，

故有4m≥4，解得m≥1．

又點M在橢圓的長軸上，即﹣4≤m≤4．

故實數m的取值范圍是m∈[1，4]．

【解析】（Ⅰ）設橢圓C的標準方程，根據焦點坐標和長軸長與短軸長的比聯立方程求得a和b，進而可得橢圓的方程．（Ⅱ）設P（x，y）為橢圓上的動點，根據橢圓的性質可判斷x的范圍．代入 判斷因為當 最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，

進而求得m的范圍．點M在橢圓的長軸上進而推脫m的最大和最小值．綜合可得m的范圍．