Question

已知函數f(x)=

x

2

，g(x)=log2x，F(x)=f(x)-g(x)
（1）在同一在直角坐標系內作出函數f（x），g（x）的圖象；
（2）利用圖象求F（x）＞0的解集；
（3）已知函數y=F(x)-

1

2

的零點是1和x₀，若x₀∈（n，n+1）（n∈N），求n的值；
（4）若已知x（x²+3x-6）＞0，解不等式：2x+3•x2＜2

6

x

•（x²+3x-6）²．

Answer 1

分析：（1）根據F（x）=

1

2

x-log2x（x＞0）分類討論：當0＜x≤1時，當1＜x＜2時，比較f（x）和g（x）函數值的大小，進一步得出函數f（x）=

1

2

x，g（x）=log₂x的圖象有2個交點，再畫出圖象．
（2）由圖象可得，當0＜x＜2，或x＞2時，f（x）＞g（x），當2＜x＜4時，f（x）＜g（x），從而得出F（x）＞0的解集；
（3）由函數y=F(x)-

1

2

的零點是1可得

1

2

x-log2x-

1

2

=0即x-1-2log₂x=0的根為1和x₀令G（x）=x-1-2log₂x根據零點存在定理可知，x₀∈（5，6）從而得出n=5；
（4）先對不等式：2x+3•x2＜2

6

x

•（x²+3x-6）²．兩邊取以2為底的對數得：x+3+log₂x²＜

6

x

+log₂（x²+3x-6）²最后整理成

1

2

（

x2+3x-6

x

）＜log₂

x2+3x-6

x

，從而由（1）得出2＜

x2+3x-6

x

＜4．解之即可．

解答：解：（1）∵F（x）=

1

2

x-log2x（x＞0）
當0＜x≤1時，f（x）＞0，g（x）＜0．f（x）＞g（x）
當1＜x＜2時，f（x）＞g（x）
而f（2）=g（2）=1，f（4）=g（4）=2但是函數f（x）=

1

2

x與g（x）=log₂x在（4，+∞）都是單調遞增，
但是函數f（x）比函數g（x）的增加速度快
當x＞4時，f（x）＞g（x）
∴函數f（x）=

1

2

x，g（x）=log₂x的圖象有2個交點，其圖象如圖所示


（2）由圖象可得，當0＜x＜2，或x＞2時，f（x）＞g（x），即F（x）＞0
當2＜x＜4時，f（x）＜g（x），即F（x）＜0
∴F（x）＞0的解集為{x|0＜x＜2或x＞4}．

（3）由函數y=F(x)-

1

2

的零點是1可得

1

2

x-log2x-

1

2

=0即x-1-2log₂x=0的根為1和x₀
令G（x）=x-1-2log₂x
G（1）=0，而G（6）=5-2log₂6＞0，G（5）=4-2log₂5＜0
根據零點存在定理可知，x₀∈（5，6）
∴n=5．
（4）不等式：2x+3•x2＜2

6

x

•（x²+3x-6）²．
兩邊取以2為底的對數得：
x+3+log₂x²＜

6

x

+log₂（x²+3x-6）²
即x+3-

6

x

＜log₂（x²+3x-6）²-log₂x²
即

1

2

（

x2+3x-6

x

）＜log₂

x2+3x-6

x

從而由（1）得出2＜

x2+3x-6

x

＜4．
即

x＞0 2x＜x2+3x-6＜4x

①或

x＜0 2x＞x2+3x-6＞4x

②
解①得2＜x＜3；解②得-3＜x＜-2
∴原不等式的解集為（-3，-2）∪（2，3）．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、對數函數的圖象與性質、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．