Question

已知函數：f（x）=lg[sin（2x+

π

3

）-

1

2

]
（1）求函數定義域
（2）求函數的值域
（3）若y=f（x+φ）是偶函數，求φ的集合．

Answer 1

考點：復合三角函數的單調性,對數函數的圖像與性質,對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）要使函數有意義，則需sin（2x+

π

3

）-

1

2

＞0，由正弦函數的圖象和性質，即可得到定義域；
（2）運用正弦函數的值域，結合對數函數的單調性，即可得到值域；
（3）運用余弦函數的奇偶性，即有2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，解方程即可得到所求集合．

解答： 解：（1）要使函數有意義，則需
sin（2x+

π

3

）-

1

2

＞0，即sin（2x+

π

3

）＞

1

2

，
即2kπ+

π

6

＜2x+

π

3

＜2kπ+

5π

6

，k∈Z，
解得kπ-

π

12

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z，
則定義域為（kπ-

π

12

，kπ+

π

4

），k∈Z；
（2）由0＜sin（2x+

π

3

）-

1

2

≤

1

2

，
即有lg[sin（2x+

π

3

）-

1

2

]≤lg

1

2

=-lg2，
則值域為（-∞，-lg2]；
（3）y=f（x+φ）是偶函數，
即f（x+φ）=lg[sin（2x+2φ+

π

3

）-

1

2

]為偶函數，
則2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得φ=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z．
則所求集合為{φ|φ=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z}．

點評：本題考查函數的定義域和值域以及奇偶性的運用，考查三角函數的圖象和性質，考查對數函數的性質，考查運算能力，屬于基礎題．