Question

已知定義域為R的奇函數(shù)y=f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=3^x-2
（Ⅰ）若f(a)=

2

3

，求a的值；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)是奇函數(shù)，先求出f（x）的表達式，然后由f(a)=

2

3

，可求a的值；
（Ⅱ）利用不等式的性質(zhì)解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
若x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=3^-x-2，則-f（x）=3^-x-2
得f（x）=-3^-x+2，（x＜0）．
∴f(x)=

3x-2(x＞0) 0(x=0) -3-x+2(x＜0)

．
①由

a＞0 3a-2= 2 3 ⇒3a= 8 3 ⇒a=log3 8 3 =log38-1＞0

，得a=log₃8-1．
②由

a＜0 -3-a+2= 2 3 ⇒3-a= 4 3 ⇒-a=log3 4 3 =log34-1

，得a=1-log₃4．
故a=log₃8-1或a=1-log₃4．
（Ⅱ）方法一：∵f(x)=

3x-2(x＞0) 0(x=0) -3-x+2(x＜0)

∴(1)

x＞0 3x-2＜1⇒x＜1

⇒0＜x＜1，
(2)

x=0 f(0)=0＜1

⇒x=0，
(3)

x＜0 -3-x+2＜1⇒3-x＞1⇒-x＞0⇒x＜0

⇒x＜0．
故不等式f（x）＜1的解集為（-∞，1）…（12分）
方法二：（圖象法）如圖，畫出y=f（x）的圖象，由圖可得
不等式f（x）＜1的解集為（-∞，1）
方法3：（單調(diào)性法）
（1）當(dāng)x＞0時，f（x）=3^x-2為增函數(shù)，
∵f（1）=1，
∴f（x）＜1?f（x）＜f（1）?0＜x＜1．
（2）當(dāng)x=0時，f（x）=0＜1成立
（3）當(dāng)x＜0時，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（x）為（-∞，0）上的增函數(shù)，
由圖象可得x→0時，f（x）→1，
則x＜0時，f（x）＜1恒成立．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式的解法，要注意利用分段函數(shù)，進行分類討論此題有個錯誤解法，請看：
解：單調(diào)性的錯誤解法：當(dāng)x＞0時，f（x）=3^x-2為增函數(shù)，∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（x）為R上的增函數(shù)，∵f（1）=1，∴f（x）＜1?f（x）＜f（1）?x＜1
錯因：∵f（x）在R上不是增函數(shù)，而是在（-∞，0）與（0，+∞）上均為增函數(shù)就象y=

1

x

在（-∞，0）與（0，+∞）上均為減函數(shù)，而不能說在其定義域上是減函數(shù)一樣．