Question

(理)已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n與a_n滿足關(guān)系式：nS_n+1=(n+2)S_n+a_n+2(n∈N₊).

(1)若a₁=0,求a₂、a₃的值；

(2)求證：a₁=0是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件.

(文)如圖，直線l:y=(x-2)和雙曲線C：=1(a＞0,b＞0)交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=，又l關(guān)于直線l₁:y=x對(duì)稱的直線l₂與x軸平行.

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)求雙曲線C的方程.

Answer 1

答案：(理)解：(1)由nS_n+1=(n+2)S_n+a_n+2(*)

變形為n(S_n+1-S_n)=2S_n+a_n+2,而S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，于是有na_n+1=2S_n+a_n+2,a₁=0.

在n=1,a₂=2a₁+a₁+2=2,則a₂=2.在n=2，2a₃=2(a₁+a₂)+a₂+2=4+4=8,則a₃=4.4分

(2)充分性：由(1)可猜測(cè)到a_n=2n-2.

下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n=2n-2.

①在n=1時(shí)，a₁=2×1-2=0，與已知a₁=0一致.故n=1時(shí)，a_n=2n-2成立.

②假設(shè)n≤k時(shí),a_n=2n-2成立.∴S_k=a₁+a₂+…+a_k=0+2+4+…+(2k-2)=k(k-1).

∵(*)式na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立,則ka_k+1=2S_k+a_k+2=2k(k-1)+(2k-2)+2=2k².

∴a_k+1=2k=2［(k+1)-1］.故n=k+1時(shí)，a_n=2n-2成立.

綜合①②,可知a_n=2n-2對(duì)n∈N^*恒成立.

∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=2n-2.∴a_n-a_n-1=2(n≥2，n∈N).由等差數(shù)列定義可知{a_n}是等差數(shù)列.從而充分性得證.

必要性：由(1)可知na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立,則(n-1)a_n=2S_n-1+a_n-1+2(n≥2).由以上兩式相減,得na_n+1=(n+2)a_n-a_n-1(n≥2).(**)若{a_n}是等差數(shù)列，則a_n-a_n-1=d(n≥2)，且a_n=a₁+(n-1)d.代入(**)式中有n(a_n+1-a_n)=2a_n-a_n-1.∴nd=a_n+d=a₁+(n-1)d+d.∴a₁=0.從而必要性得證.因此,a₁=0是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件.

(文)解：(1)如圖，設(shè)雙曲線C：=1過(guò)一、三象限的漸近線l₁:=0的傾斜角為α.∵l和l₂關(guān)于l₁對(duì)稱，設(shè)它們交點(diǎn)為P,而l₂與x軸平行，記l₂與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)Q.

依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.又l:y=(x-2)的傾斜角為60°，則2α=60°.

∴tan30°=.于是e²==1+=1+=.∴e=.

(2)由=.于是設(shè)雙曲線方程為=1，即x²-3y²=3k².將y=(x-2)代入x²-3y²=3k²中得x²-3·3(x-2)²=3k².化簡(jiǎn)得到8x²-36x+36+3k²=0.設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則|AB|=|x₁-x₂|

==，求得k²=1.

于是所求雙曲線方程為-y²=1.