Question

已知函數．
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在上的最大值和最小值；
（3）當a=1時，求證：對大于1的任意正整數n，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導函數大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范圍．
（2）將a=1代入函數f（x）的解析式，判斷其單調性進而得到最大值和最小值．
（3）先判斷函數f（x）的單調性，令代入函數f（x）根據單調性得到不等式，令n=1，2，…代入可證．
解答：解：（1）∵
∴
∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數
∴對x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即對x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（2）當a=1時，，
∴當時，f′（x）＜0，故f（x）在上單調遞減；
當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上單調遞增，
∴f（x）在區間上有唯一極小值點，故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
又
∵e³＞16
∴
∴f（x）在區間上的最大值
綜上可知，函數f（x）在上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）當a=1時，，，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數．
當n＞1時，令，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴，即
∴
∴
∴
即對大于1的任意正整數n，都有
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．