Question

【題目】已知數列中，，且．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列的前項和為，求滿足的所有正整數的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的值為1與2．

【解析】

（Ⅰ）由條件可得，，再用累加法求解即可；

（Ⅱ）利用分類討論法求和或錯位相減法求解．

（Ⅱ）（解法一）由題意得，數列的前項和為，令，其前項和為，由此討論可求出答案．

（解法二）令，利用錯位相減法求得其前項和，從而求出，記，由此討論即可求出答案．

解：（Ⅰ），

，即，

由累加法，當時，

，

代入得，

，

（），

也滿足上式，

∴；

（Ⅱ）解法一：，

數列的前項和為，

令，

其前項和為，

則有，

∴，

當時，，則有，

綜上，不等式成立的的值為1與2．

解法二：令，設其前項和為，

∴，

∴，

兩式相減得，

，

，

則有，

記，

當時，；

當時，；

當且為奇數時，，，則；

當且為偶數時，，，則；

綜上所述，不等式成立的的值為1與2．