Question

【題目】已知橢圓的離心率為，兩焦點與短軸的一個端點的連線構成的三角形面積為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設與圓O：相切的直線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標原點），求△AOB面積的最大值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的離心率為，兩焦點與短軸的一個端點的連線構成的三角形面積為，建立方程，即可求橢圓C的方程；

（Ⅱ）對直線ＡＢ的斜率分類討論，設直線AB的方程為，利用相切可得，與橢圓聯立，利用韋達定理可以表示，利用均值不等式求出最值即可得到△AOB面積的最大值

解：（I）由題設：，

解得

∴橢圓C的方程為

（Ⅱ）.設

1.當ABx軸時，

2.當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為

由已知，得

把代入橢圓方程消去y，

整理得,

有

,

,

,

,

當且僅當，即時等號成立.

當時，

綜上所述，從而△AOB面積的最大值為