Question

已知函數且
（Ⅰ）試用含的代數式表示；
（Ⅱ）求的單調區間；
（Ⅲ）令，設函數在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點；

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為；當時，函數的單調增區間為R；當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為
（Ⅲ）易得，而的圖像在內是一條連續不斷的曲線，
故在內存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點

試題分析：解法一：（Ⅰ）依題意，得
由得
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
故
令，則或
①當時，
當變化時，與的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調遞增	單調遞減	單調遞增

由此得，函數的單調增區間為和，單調減區間為
②由時，，此時，恒成立，且僅在處，故函數的單調區間為R
③當時，，同理可得函數的單調增區間為和，單調減區間為
綜上：
當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為；
當時，函數的單調增區間為R；
當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為
（Ⅲ）當時，得
由，得
由（Ⅱ）得的單調增區間為和，單調減區間為
所以函數在處取得極值。
故
所以直線的方程為
由得
令
易得，而的圖像在內是一條連續不斷的曲線，
故在內存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點
解法二：
（Ⅲ）當時，得，由，得
由（Ⅱ）得的單調增區間為和，單調減區間為，所以函數在處取得極值，
故
所以直線的方程為
由得
解得

所以線段與曲線有異于的公共點。
點評：本題是在知識的交匯點處命題，將函數、導數、不等式、方程的知識融合在一起進行考查，重點考查了利用導數研究函數的極值與最值等知識．導數題目是高考的必考題，且常考常新，但是無論如何少不了對基礎知識的考查，因此備考中要強化基礎題的訓練．