Question

已知函數g（x）=-x²-3，f（x）是二次函數，f（x）+g（x）為奇函數，且當x∈[-1，2]時f（x）的最小值為1，則f（x）表達式為

f（x）=x²+3x+3或f（x）=x2-2

2

x+3．

．

Answer 1

分析：設f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），可表示出f（x）+g（x），根據f（x）+g（x）為奇函數及奇函數的定義可得關于a，c的方程組，從而可求a，c，然后根據f（x）的對稱軸在區間[-1，2]的左側、內部、右側三種情況進行討論，求出f（x）的最小值，令其為1，可求得b值．

解答：解：設f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
則f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
又f（x）+g（x）為奇函數，
∴（a-1）x²-bx+c-3=-（a-1）x²-bx-c+3對任意x∈R恒成立，
∴

a-1=-(a-1) c-3=-c+3

，解得：

a=1 c=3

，
∴f（x）=x²+bx+3，其對稱軸為x=-

b

2

，
①當-

b

2

＜-1時，即b＞2時，f（x）_min=f（-1）=4-b=1，解得b=3； 
②當-1≤-

b

2

≤2時，即-4≤b≤2時，f(x)min=f(-

b

2

)=

b2

4

-

b2

2

+3=1，
解得：b=-2

2

或b=2

2

（舍）；
③當-

b

2

＞2時，即b＜-4時，f（x）_min=f（2）=7+2b=1，解得b=-3（舍），
綜上知，f（x）=x²+3x+3或f（x）=x2-2

2

x+3．

點評：本題考查函數解析式的求解及常用方法，考查奇函數的性質，考查分類討論思想，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力，已知函數類型求函數解析式常用待定系數法．