Question

已知函數f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）若不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值；
（2）（文）設f（x）的反函數為f^-1（x），若關于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，求m的取值范圍．
（3）（理）設f（x）的反函數為f^-1（x），若f-1(1)=

1

3

，解關于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，用對數的運算法則將函數化為f(x)=log a

1+x

1-x

，然后將真數對應的函數用求導數的方法討論其單調性，得出真數是關于x的增函數．最后分a＞1和0＜a＜1兩種情況對原不等式的解集加以討論，從而可以得出實數a的值；
（2）用解方程的方法，將x用y來表示，從而得出函數f^-1（x）的表達式，再討論得其值域為（-1，1），欲使關于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，m必須大于f^-1（x）的最小值，從而得到m≥-1；
（3）先解方程f-1(1)=

1

3

，得到a=2，從而得到函數f^-1（x）的表達式，再結合（2）的函數值域的結果，可以分：①當m≥1時，②當-1＜m＜1，③當m≤-1時，三種情況下討論不等式f^-1（x）＜m的解集情況，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）根據對數的運算法則，得
f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=log a

1+x

1-x

（-1＜x＜1）
令t=

1+x

1-x

，得t/=

1-x+1+x

(1-x) 2

=

2

(1-x) 2

＞0
故t在區間（-1，1）上是關于x的單調增函數，
不等式|f（x）|＜2的解集為(-

1

2

，

1

2

)，分兩種情況加以討論：
①當a＞1時，f(-

1

2

) =-2且f(

1

2

) =2
∴log_a

1

2

-log_a

3

2

=-2⇒loga

1

3

=-2⇒a=

3

②當0＜a＜1時，f(-

1

2

) =2且f(

1

2

) =-2，類似①的方法可得a=

3

3

綜上所述，得實數a的值為

3

或

3

3

；
（2）∵f(x)=log a

1+x

1-x

⇒x=

-1+ay

1+ay

∴f^-1（x）=

-1+ax

1+ax

=1-

2

1+ax

∵1+a^x＞1
∴1-

2

1+ax

∈(-1，1)
欲使關于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，m必須大于f^-1（x）的最小值，所以m≥-1
故m的取值范圍是[-1，+∞）．
（3）由（2）得f-1(1)=

-1+a

1+a

=

1

3

⇒a=2，
對于關于x的不等式f^-1（x）＜m，由（2）知的f^-1（x）的值域為（-1，1）
故分3種情形加以討論：
①當m≥1時，有f^-1（x）＜1≤m，所以f^-1（x）＜m恒成立，得不等式的解集是R；
②當-1＜m＜1，f^-1（x）＜m⇒1-

2

1+2x

＜m⇒2x＜

1+m

1-m

⇒x＜log2

1+m

1-m

∴不等式的解集是x∈（-∞，log2

1+m

1-m

）
由（2）知不等式f^-1（x）＜m的解集是空集．
綜上所述：當m≤-1時原不等式的解集是空集，當-1＜m＜1時原不等式的解集是x∈（-∞，log2

1+m

1-m

）；當m≥1時，原不等式的解集是R．

點評：本題以對數型復合函數為例，考查了函數的單調性與值域、反函數和不等式的解法等等知識點，屬于難題．本題的綜合性較強，在解題時注意分類討論與轉化化歸思路的適時恰當的運用．