Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n，且點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，則

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

 

．

Answer 1

分析：根據點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，求出a_n的通項公式，然后再求出s_n的表達式，進而求得答案．

解答：解：∵點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，
∴a_n+1-a_n=1，
∴數列{a_n}是等差數列，
∵a₁=1，
∴s_n=

n2+n

2

，
∴

1

sn

=

2

n(n+1)

，
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2（1-

1

2

+

1

2

-…-

1

n+1

）=

2n

n+1

，
故答案為

2n

n+1

．

點評：本題主要考查數列求和的知識點，解答本題的關鍵是證明數列{a_n}是等差數列，然后求出等差數列的前n項和，然后在用裂項相消法求得

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．