Question

在下列命題中：
①若向量

a

、

b

共線，則向量

a

、

b

所在的直線平行；
②若向量

a

、

b

所在的直線為異面直線，則向量

a

、

b

不共面；
③若三個向量

a

、

b

、

c

兩兩共面，則向量

a

、

b

、

c

共面；
④已知空間不共面的三個向量

a

、

b

、

c

，則對于空間的任意一個向量

p

，總存在實數x、y、z，使得

p

=x

a

+y

b

+z

c

；
其中正確的命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①若向量

a

、

b

共線，則向量

a

、

b

所在的直線平行，可由向量的平行定義進行判斷；
②若向量

a

、

b

所在的直線為異面直線，則向量

a

、

b

不共面，此命題可由共面向量的定義判斷；
③若三個向量

a

、

b

、

c

兩兩共面，則向量

a

、

b

、

c

共面，此命題可由共面向量的定義判斷；
④已知空間不共面的三個向量

a

、

b

、

c

，則對于空間的任意一個向量

p

，總存在實數x、y、z，使得

p

=x

a

+y

b

+z

c

，可由空間向量基本定理進行判斷；

解答：解：①若向量

a

、

b

共線，則向量

a

、

b

所在的直線平行，此命題不正確，同一直線上的兩個向量也是共線的，此時兩直線重合；
②若向量

a

、

b

所在的直線為異面直線，則向量

a

、

b

不共面，此命題不正確，任意兩兩向量是共面的；
③若三個向量

a

、

b

、

c

兩兩共面，則向量

a

、

b

、

c

共面，此命題不正確，兩兩共面的三個向量不一定共面，三個不共面的向量也滿足任意兩個之間是共面的；
④已知空間不共面的三個向量

a

、

b

、

c

，則對于空間的任意一個向量

p

，總存在實數x、y、z，使得

p

=x

a

+y

b

+z

c

，此命題是正確的，它是空間向量共面定理；
綜上討論知，只有④是正確的
故選B

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，解題的關鍵是熟練掌握向量的共線，共面與空間向量共面定理，有一定的空間想像能力，能想像出向量的位置關系情況，本題考查了空間想像能力及推理論證的能力，是對基本概念與基礎知識考查的常用題型．