Question

（本題滿分15分）已知函數．
（1）求函數的圖像在點處的切線方程；
（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；
（3）當時，證明．

Answer 1

1）解：因為，所以，
函數的圖像在點處的切線方程；…………3分
（2）解：由（1）知，，所以對任意恒成立，即對任意恒成立．…………4分
令，則，……………………4分
令，則，
所以函數在上單調遞增．………………………5分
因為，所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，…6分
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．…………7分
所以．故整數的最大值是3．………………………8分
（3）由（2）知，是上的增函數，……………9分
所以當時，．…………………10分
即．
整理，得．………………11分
因為， 所以．…………………12分
即．即．………………13分
所以．………………………14分

略