Question

【題目】已知函數f（x）=．

（1）若f（x）的值域為R，求實數a的取值范圍；

（2）若函數f（x）在（﹣∞，1）上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或； （2）[1，2].

【解析】

（1）根據題意，設t=x2﹣2ax+3，則y=logt，若函數f（x）的值域為R，結合對數函數的性質分析可得：對于t=x2﹣2ax+3，必有△=（﹣2a）2﹣12≥0，解可得a的取值范圍，即可得答案；

（2）由復合函數以及對數函數、二次函數的性質分析可得，解可得a的取值范圍，即可得答案．

（1）根據題意，函數f（x）=log（x2﹣2ax+3），

設t=x2﹣2ax+3，則y=，

若函數f（x）的值域為R，對于t=x2﹣2ax+3，必有△=（﹣2a）2﹣12≥0，

解可得：a≥或a≤﹣，

（2）設t=x2﹣2ax+3，則y=，

函數y=為減函數，

若函數f（x）在（﹣∞，1）上為增函數，

則函數t=x2﹣2ax+3在（﹣∞，1）上為減函數，且t=x2﹣2ax+3＞0在（﹣∞，1）上恒成立，

即 ，解可得1≤a≤2，

即a的取值范圍為[1，2]．