Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且，點是的中點，將沿著折起，使點運動到點處，且滿足.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，由，進而，由，得. 進而平面,進而結論可得證（2）（方法一）過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點，上的點，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可

（1）證明：取的中點，連接，，由已知得，所以，又點是的中點，所以.

因為，點是線段的中點，

所以.

又因為，所以，從而平面，

所以，又，不平行，

所以平面.

（2）（方法一）由（1）知，過點作的平行線交于點，以點為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則點，，，，

所以，，.

設平面的法向量為，

由，得，令，得.

同理，設平面的法向量為，

由，得，

令，得.

所以二面角的余弦值為.

（方法二）取的中點，上的點，使，連接，易知，.

由（1）得，所以平面，所以，

又，所以平面，

所以二面角的平面角為.

又計算得，，，

所以.